Публикации

УДК 517.91+519.95

Калиткин Н.Н., Гольцов Н.А. Введение в численный анализ. Учебное пособие.- М.: Изд. МГУЛ, 2003.- 143с., илл.5, табл.9, библиография 132назв.

В книге рассмотрены численные методы решения простейших задач линейных и нелинейных алгебраических уравнений и систем, аппроксимации функций, численного интегрирования и дифференцирования, задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. В книгу включено неболь-шое число наиболее простых и надежных методов с широкой областью при-менимости, хорошо зарекомендовавших себя в практических расчетах. Особое внимание уделено получению достоверной оценки достигаемой в расчетах точности (в частности, методу сгущения сеток). Среди изложенных методов есть ряд оригинальных разработок авторов.

Книга написана как учебное пособие для студентов. Она может быть также справочником для аспирантов и сотрудников инженерных специально-стей, а также соответствующих факультетов повышения квалификации.

Рецензенты: Кафедра математического моделирования Московского физико-технического института (Государственного университета), Доктор физико-математических наук профессор П.П.Волосевич

© Н.А.Гольцов, 2003
© Издательство Московского государственного университета леса, 2003
Лицензия ЛР N0207198 от 2.02.1998
Лицензия ПД N00326 от 14.02.2000

Подписано к печати 11.6.2000
Тираж 500 экз.
Объем 9 п.л.

Издательство Московского государственного университета леса
141005, Московская обл., Мытищи, 1-я Институтская, 1, МГУЛ
Телефон: (095)588-57-62
E-mail: izdat@mgul.ac.ru

Предисловие. (3)
1. История численного анализа (3). 2. Проблемы численного анализа (3). 3. Строгость исследования (4). 4. Структура книги (5).
Глава 1. Приближенные вычисления
1. Источники погрешности. (7)
  1. Величины и нормы (7). 2. Неустранимая погрешность (8). 3. Погрешность метода (9). 4. Погрешность округления (10).
2. Вычисления с приближенными числами. (11)
  1. Приближенные величины и погрешности (11). 2. Верные цифры приближенных чисел (14). 3. Правила и формы записи чисел с фиксированной и плавающей запятыми (15). 4. Округление чисел (16). 5. Погрешности вычисления функций и устойчивости (17). 6. Общие рекомендации (19).
Глава 2. Решение систем линейных алгебраических уравнений
1. Задачи линейной алгебры. (22)
2. Системы линейных уравнений. (24)
  1. Обзор методов (24). 2. Метод Гаусса (25). 3. Выбор главного элемента (26). 4. Специальные матрицы (26). 5. Метод квадратного корня (28). 6. Плохо обусловленные системы (29). 7. Итерационные методы (30). 8. Быстрое преобразование Фурье (31).
3. Определитель и обратная матрица. (31)
  1. Вычисление определителя (31). 2. Обратная матрица (32).
4. Задача на собственные значения. (32)
  1. Преобразования подобия (32). 2. Метод Гивенса (33). 3. Метод Якоби (34). 4. QR алгоритм (36). 5. Обратные итерации (36).
Глава 3. Решение нелинейных уравнений и систем
1. Одношаговые методы. (38)
  1. Метод простой итерации (38). 2. Скорость сходимости (39). 3. Системы уравнений (39).
2. Метод Ньютона. (40)
  1. Одно уравнение (40). 2. Непрерывный аналог (40). 3. Системы уравнений (41).
3. Многошаговые методы. (42)
  1. Деление пополам (42). 2. Метод секущих (43). 3. Метод парабол (43).
4. Исключение корней. (44)
  1. Корни многочлена (44). 2. Произвольные функции (45).
Глава 4. Численное интегрирование
1. Интерполяционные формулы. (46)
  1. Формула трапеций (46). 2. Формулы Эйлера Маклорена (47). 3. Формула средних (47).
2. Сгущение сеток. (48)
  1. Равномерные сетки (48). 2. Рекуррентное сгущение (49). 3. Квазиравномерные сетки (50).
3. Метод Гаусса Кристоффеля. (51)
  1. Общие формулы (51). 2. Частные случаи (52).
4. Метод коллокаций. (53)
  1. Общие формулы (53). 2. Формулы Филона (54). 3. Несобственные интегралы (54).
5. Кратные интегралы. (55)
  1. Формула средних (55). 2. Другие формулы (56).
Глава 5. Интерполяция и аппроксимация функций
1. Интерполяционные многочлены. (57)
  1. Задачи аппроксимации (57). 2. Интерполяционный многочлен Лагранжа (57). 3. Многочлен Ньютона (58). 4. Сходимость (59).
2. Среднеквадратичная аппроксимация многочленами. (60)
  1. Обобщенные многочлены (60). 2. Степенные ряды (61). 3. Многочлены Чебышева (62).
3. Тригонометрические ряды. (63)
  1. Ряд Фурье (63). 2. Формула Бесселя (64).
4. Сплайн аппроксимация. (64)
  1. Формы сплайна (64). 2. B сплайны (66). 3. Конечные элементы (66). 4. Среднеквадратичные сплайны (67). 5. Интерполяционные сплайны (68).
Глава 6. Численное дифференцирование
1. Производная интерполяционного многочлена. (70)
  1. Общие формулы (70). 2. Простейшие формулы (71). 3. Равномерные сетки (71). 4. Некорректность (72).
2. Другие методы. (72)
  1. Дифференцирование сплайна (72). 2. Дифференцирование ряда Фурье (73). 3. Производные ряда Чебышева (74).
3. Приложения к проблемам математической физики. (74)
  1. Обыкновенные дифференциальные уравнения (74). 2. Уравнения в частных производных (75). 3. Повышение точности (76).
Глава 7. Одношаговые численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
1. Метод Эйлера и его модификации для численного решения задачи Коши. (77)
  1. Метод Эйлера (77). 2. Первая модификация метода Эйлера (77). 3. Метод Эйлера-Коши (78). 4. Накопление ошибок (78). 5. Геометрическая интерпретация (79).
2. Метод Рунге Кутта. (82)
3. Контроль и уточнение результатов решения ОДУ с использованием формул типа Рунге-Кутты. (84)
4. Двусторонние (полярные) методы. (85)
5. Псевдоитерационные формулы. (86)
6. Экстраполяционный метод Ричардсона и его модификации для решения ОДУ с распараллеливанием вычислений. 87
Глава 8. Многошаговые методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
1. Конструирование расчетных формул на основе одного функционального ряда. (90)
2. Экстраполяционный метод Адамса. (91)
3. Интерполяционный метод Адамса. (91)
4. Экстраполяционно интерполяционный метод Милна. (93)
5. Экстраполяционно интерполяционный метод с итерационным процессом коррекции. (94)
6. Двусторонний (полярный) метод. (94)
7. Методы повышенной точности с забеганием на несколько шагов вперед. (95)
8. Предсказывающие уточняющие формулы, основанные на рациональной аппроксимации. 97
Глава 9. Обобщенная расчетная формула для решения задач численного анализа
1. Решение проблемы Лежандра нахождения общего подхода, метода к численному решению обыкновенных дифференциальных уравнений порядка p и вычисления производных, интегралов обыкновенных, повторных, дробных. (98)
2. Вычисление производных, интегралов таблично заданной функции с помощью обобщенной расчетной формулы м-го порядка точности (ОРФ-м). Примеры. (101)
3. Применение обобщенной расчетной формулы порядка точности для решения обыкновенных дифференциальных уравнений порядка p при p задачи Коши. Примеры. (102)
  1. Краевые задачи (102). 2. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений порядка p (103). 3. Решение краевой задачи из теории крыла Прандтля (103). 4. Пример решения задачи Коши (103).
4. Применение обобщенной расчетной формулы порядка точности для решения краевой двухточечной задачи. (104)
5. Аппроксимация многочленами таблично заданных функций своими значениями и значениями своих производных с использованием обобщенного метода наименьших квадратов. (106)
6. Выбор аппроксимирующих функций, теоретические предпосылки. (108)
7. Применение аппроксимирующих дифференциальных уравнений для решения обыкновенных дифференциальных уравнений. (109)
Глава 10. Алгоритмы с распараллеливанием вычислений для решения систем алгебраических линейных уравнений
1. Классификация расчетных схем исключения неизвестных систем алгебраических линейных уравнений. (111)
2. Модификация расчетной схемы Гаусса без обратного хода с уменьшенным числом делений. (113)
3. Применение .относительных значений величин неизвестных при решении систем алгебраических линейных уравнений. (116)
  1. К-расчетные схемы решения (116). 2. L-расчетные схемы (117). 3. M-расчетные схемы решения (118). 4. Схема 3-го порядка (119).
4. Решение систем алгебраических линейных уравнений с использованием определителей, вычисляемых по специальной схеме повышения порядка. (121)
Приложение (124)
Литература (125)
Именной указатель (133)

E-mail: ngoltsov@narod.ru

Гольцов Николай Алексеевич

Публикации

Оглавление