Гольцов Николай Алексеевич

Публикации

УДК 517.91+518(075.8)+519.6

Гольцов Н.А. Основы численного анализа и алгоритмы для многопроцессорных вычислительных систем. Монография.- М.: МГУЛ, 2001.- 74с.

В монографии разработана обобщенная теория метода наименьших квадратов (ОМНК) с использованием квадратов отклонения аппроксимируемой функции и ее производных при различных законах распределения плотности вероятности для исходных данных.

Лежандр в связи с проблемой численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений указал на перспективу в будущем найти общий подход численного решения дифференциальных уравнений и вычисления интегралов. Поставленная задача решена. Предложена обобщенная формула для решения задач численного анализа: интерполирование и экстраполирование функций для численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений, для вычисления производных, для вычисления интегралов.

Дана классификация расчетных схем численного решения систем алгебраических линейных уравнений (САЛУ), выявлен новый класс расчетных формул решения САЛУ. Предложен метод решения САЛУ с использованием относительных значений искомых неизвестных. Предложены игровые модели решения САЛУ. Предложен метод решения САЛУ с использованием определителей, вычисляемых по специальной схеме.

Под редакцией автора

© Гольцов Н.А., 2002
© Московский государственный университет леса, 2002
Лицензия ЛР N0207198 от 2.02.1998
Лицензия ПД N00326 от 14.02.2000

Подписано к печати 12.5.2002
Тираж 500 экз.
Объем 3,5 п.л.

Издательство Московского государственного университета леса
141005, Московская обл., Мытищи, ул. 1-я Институтская, 1, МГУЛ
Телефон: (095)588-57-62
E-mail: izdat@mgul.ac.ru

Содержание

• Предисловие. (3)
• Введение. (4)
• Глава I. О применении экстремального принципа при решении задач
  1.1. Метод наименьших квадратов Гаусса-Лежандра в его историческом развитии. (6)
  1.2. Обобщение метода наименьших квадратов на основе принципа максимального правдоподобия. Примеры использования обобщенного метода наименьших квадратов (ОМНК). Вывод модифицированной формулы Тейлора. Вывод формулы Эйлера Коши. (8)
  1.3. Выражение оценки точности обобщенного метода наименьших квадратов на основе принципа максимального правдоподобия. (13)
• Глава II. Проблема Лежандра о нахождении общего подхода к решению обыкновенных дифференциальных уравнений, вычислению простых и повторных интегралов
  2.1. Обобщенная формула для решения задач численного анализа. (15)
  2.2. Выражения ошибок аппроксимации и округления обобщенной расчетной формулы. (23)
  2.3. Метод уточнения и контроля при численном интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений. Модификация метода Милна для многопроцессорных вычислительных систем (МВС). (29)
  2.4. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений с распараллеливанием вычислений при использовании экстраполяционных формул высокого порядка точности на асимметричной сетке типа Коуэлла (Алгоритм для МВС). (33)
• Глава III. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений
  3.1. Классификация расчетных схем исключения неизвестных для решения систем алгебраических линейных уравнений. Новые расчетные формулы. Обобщения. (38)
  3.2. Решение систем линейных алгебраических уравнений с использованием клеточных матриц. (40)
  3.3. Применение относительных значений величин искомых неизвестных при решении систем алгебраических линейных уравнений. (41)
  3.4. Алгоритм решения систем алгебраических линейных уравнений с последовательным исключением вычисленных неизвестных без обратного хода (Алгоритм для МВС). (44)
  3.5. Решение систем алгебраических линейных уравнений с использованием определителей, вычисляемых по специальной K-схеме повышения порядка (Алгоритм для МВС). (45)
• Выводы. (50)
• Литература. (54)
• Приложения к главе I
  1.1. Вывод формулы Тейлора. (57)
  1.2. Применение обобщенного метода наименьших квадратов (ОМНК) при регуляризации А.Н.Тихонова таблично заданных функций своими значениями и значениями своих производных. (60)
  1.3. Применение аппроксимирующих дифференциальных уравнений для решения обыкновенных дифференциальных уравнений. (61)
• Приложения к главе II
  2.1. К истории развития теории численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений. (62)
  2.2. К решению проблемы А.М.Лежандра: определение общего подхода к проблеме численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений и вычислению обыкновенных, повторных интегралов. (64)
  2.3. Системы уравнений, определяющие коэффициенты расчетных формул для численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений первого, второго и третьего порядков. (68)
  2.4. Системы уравнений, определяющие коэффициенты расчетных формул для вычисления производных. (69)
  2.5. Системы уравнений, определяющие коэффициенты расчетных формул для вычисления интегралов. (70)
• Приложения к главе III
  3.1. Расчетные схемы умножения решения систем алгебраических линейных уравнений (САЛУ-n). (71)
  3.2. Модификация расчетной схемы Гаусса решения систем алгебраических линейных уравнений для многопроцессорных вычислительных комплексов. (75)
  3.3. Применение относительных значений неизвестных величин при решении САЛУ. Примеры расчетных схем с распараллеливанием вычислений. (76)
  3.4. О статистическом методе решения САЛУ. Создание базы данных значений неизвестных и их уточнение. (80)

The theory of the least square method (LSM) with using squares of deviations of approximated function and its derivatives at the different probability distribution lows for initial data is developed in the book.

Legendre have pointed to outlook for founding in future the general approach to numerical solution of ordinary differential equations and integral calculation. This problem have been solved. The extended formula for solution of numerical analysis tasks is proposed: interpolation and extrapolation of functions for numerical solution of ordinary differential equations, calculation of derivatives and integrals.

A classification of calculation schemes of numerical solution of systems of algebraic linear equations (SALE) is carried out. The new class of computational formulas for solution of SALE is reviled.

Contents

• Preface. (3)
• Introduction. (4)
• Chapter I. Application of extreme principal in solving problems. (6)
  1.1. Historical development of Gauss-Legendre method of least squares. (6)
  1.2. Extension of method of least squares on the basis of maximum like-lihood principle. (8)
  1.3. Expression of precision estimation of extended method of least squares on the basis of maximum likelihood principle. (13)
• Chapter II. Legendre's problem of general approach to solving ordinary differential equations and integral calculation. (16)
  2.1. The extended formula for solving problems of numerical analysis. (16)
  2.2. Expression of approximation error for the extended formula. (26)
  2.3. Method of control and improvement at numerical solving ordinary differential equations. Modification of Miln's for many processor sys-tems (MPS). (31)
  2.4. Ordinary differential equation solution by paralleled computation and using high precision extrapolative formulas on asymmetrical nets of Koul's type (Algorithms for MPS). (35)
• Chapter III. Methods of solving systems of algebraic linear equation. (40)
  3.1. The classification of calculated schemes of elimination of unknowns on solving systems of algebraic linear equations. The new calculated formulas. The extensions. (40)
  3.2. Solving systems of algebraic linear equations by using cellular ma-trixes. (42)
  3.3. Using relative values of unknowns in the solution of algebraic linear equation systems. (43)
  3.4. Algorithm of solving systems of algebraic linear equations with con-secutive elimination of calculated unknowns (Algorithm for MPS). (46)
  3.5. Solving systems of algebraic linear equations by using determinant calculated on the base of specific K-scheme of increasing of order (Algorithm for MPS). (47)
• Conclusions. (50)
• References. (55)
• Appendix to Chapter I. (58)
  1.1. The derivation of Taylor's formula. (58)
  1.2. Application of extended method of least squares to Tichonov's regu-lation of table represented functions. (60)
  1.3. The application of approximating differential equations for solving ordinary differential equations. (61)
• Appendix to Chapter II. (62)
  2.1. To historical development of numerical methods of solving ordinary differential equations. (62)
  2.2. To solving Legendre's problem of general approach to numerical solving ordinary differential equations and integral computation. (73)
  2.3. Equation systems determining coefficients of calculating formulas for numerical solution of ordinary differential equations and integral computation. (77)
  2.4. Equation systems determining coefficients of calculating formulas for numerical calculation of derivatives. (78)
  2.5. Equation systems determining coefficients of calculating formulas for numerical calculation of integrals. (80)
• Appendix to Chapter III. (81)
  3.1. Multiplication schemes for solution of systems of algebraic linear equations (SALE-n). (81)
  3.2. The modification of Gauss's scheme of solving systems of algebraic linear equations for many processor computer systems. (85)
  3.3. Use of the relative values of unknowns on solution of systems of al-gebraic linear equations. The samples of computational schemes with paralleled computations. (86)
  3.4. About statistical method of solution of SALE. Formation of data base of unknowns values and their improvement. (92)

E-mail: ngoltsov@narod.ru